Eine Unterrichtssequenz Platonische und Archimedische Körper im Geometrieunterricht der Klasse 5

H. Henrici

 

Der Geometrie-Unterricht in der Klasse 5 hat ebenfalls neben den Berechnungen der einfachen Körper die Aufgabe die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens zu fördern.

Daher wurde in der Klasse 5 B1 im 2. Schulhalbjahr 2011/2012 an der CWS versucht die bisherigen Anteile der Geometrie-Unterrichts (Berechnungen) und die Aspekte der räumlichen Vorstellung zu verknüpfen.

Ein weiterer wichtiger Schwerpunkt ist die Umsetzung dieser Handlungsorientierung. Daher wurden die betrachteten Körper von den Schülern selbst gebastelt und ihre geometrischen Inhalte erforscht. Dies fördert das Denken über das selbständige Tun.

Eine sehr einfache und für die Schüler in dieser Alterstufe interessante Möglichkeit ist das Erstellen von räumlichen Körpern aus Papier.

Hier ist die Tätigkeit der Schüler aber zunächst auf das Ausschneiden, Falten und Kleben der Körper reduziert. Dies ist aber teilweise für SchülerInnen eine nicht zu unterschätzende Anforderung.

Die Bastelbögen wurden auf farbiges Tonpapier kopiert (160 g/m2) und dann von den Schülern ausgeschnitten. Die Knickkanten wurden mit einem scharfen Messer angeritzt gefalzt und mit Flüssigkleber zusammengebaut.

Dabei war erstaunlich, wie sich von Modell zu Modell die Sorgfalt der SchülerInnen im Umgang mit dem bereitgestellten Material steigerte. Dies ist an den Bildern, welche im Anhang von den Schülern beigesteuert wurden gut ersichtlich.

Diese Körper wurden dann im Unterricht als Ausgangspunkt zu geometrischen Fragestellungen genutzt.

 

- Wie viele Ecken, Flächen und Kanten besitzen die Körper?

- Besteht eine regelmäßige Abhängigkeit, welche zahlenmäßig zu erfassen ist?

 

   Aus der Tabelle kann der Eulersche Polyedersatz vermutet werden.

 

   Eckenzahl + Flächenzahl = Kantenzahl + 2

 

- Welche Verwandtschaftsbeziehungen bestehen zwischen den Körpern? (Dualität)

 

- Welche Symmetrien lassen sich bei den Körpern erkennen usw.?

 

-In platonischen Körpern sind alle Flächen und Ecken gleich, was so bei Archimedischen Körpern

 

 nicht mehr gilt.

 

 Mit den vorgenannten Erkenntnissen waren die Schüler in der Lage einzelne Körper aufgrund ihrer Form exakt zu beschreiben.

 

Gemeinsam beschäftigten wir uns dann mit der Definition von platonischen und archimedischen Körpern.

 

Platonische Körper aus lauter gleichen regelmäßigen Vielecken. Alle Ecken sind gleich.(Gleich viele Ecken stoßen aneinander).

 

Archimedische Körper bestehen aus regelmäßigen Vielecken. Im Gegensatz zu den platonischen Körpern können in einem archimedischen Körper auch unterschiedliche Flächenarten vorkommen. Alle Ecken sind aber immer noch gleich.

 

Dadurch kann ein archimedischer Körper durch die Definition einer Ecke beschrieben werden.

 

Das räumliche Zeichnen von Körpern ist für SchülerInnen eine ausgesprochen anspruchsvolle Aufgabe. Ausgehend von der Zeichnung eines Würfels erlernten die SchülerInnen das Zeichnen der platonischen Körper. Zunächst wurden die Eigenschaften der Schrägbildzeichnung dargestellt. Aus den Eigenschaften lassen sich leicht Quader und Würfel zeichnen. Die Zeichnung eines Würfels ist der Ausgangspunkt der Zeichnung eines Tetraeders.  Alle Kanten des Tetraeders sind Flächendiagonalen des Würfels. Ausgehend von einer Ecke werden drei miteinander verbundene Flächendiagonalen eingezeichnet. Dabei wird jeweils eine Würfelecke abgeschnitten.

Das Zeichnen des Oktaeders ist ausgehend von der Würfeldarstellung auch leicht möglich. Um die Eckpunkte des Oktaeders zu erhalten, verbindet man die Flächenmittelpunkte des Würfels in geeigneter Weise miteinander. Der Würfel hat sechs Flächen. Daher ergeben sich auch sechs Flächenmittelpunkte. Dies sind die sechs Ecken des Oktaeders.

Für das Zeichnen des Ikosaeders wurden die Kanten auf der Oberfläche des umschriebenen Würfels vorgegeben und von Schülern miteinander verbunden.

ür das Zeichnen des Dodekaeders wurde die Dualität zwischen Dodekaeder und Ikosaeder ausgenutzt und Mittelpunkte der Flächen des Ikosaeders verbunden.

Für das Zeichnen des Dodekaeders wurde die Dualität zwischen Dodekaeder und Ikosaeder ausgenutzt...

... und Mittelpunkte der Flächen des Ikosaeders verbunden.

Die Eigenschaften der im weiteren Unterrichtsverlauf gebauten Archimedischen Körper wurden mit den vorherigen platonischen Körpern in ihren Eigenschaften unter Zuhilfenahme des Eulerschen Polyedersatzes in dem folgenden Arbeitsblatt zusammengefasst.

 

Zusammenfassung e f k von Platonischen- und Archimedischen Körpern

 

Körper

Entstanden aus

e

f

k

Tetraeder

 

4

4

6

Hexaeder

 

8

6

12

Oktaeder

 

6

8

12

Ikosaeder

 

12

20

30

Dodekaeder

 

20

12

30

Dualer

Tetraeder

 

14

24

36

Dualer

Hexa -Oktaeder

 

26

48

72

Dualer

Dodeka - Ikosaeder

 

62

120

180

Kuboktaeder

Kern des Dualen Hexa-Oktaeder

12

14

24

Ikosidodekaeder

Kern des Dualen Dodeka-Ikosaeder

30

32

60

Tetraederstumpf

Abstumpfung der Ecken des Tetraeders durch Kantendreiteilung

12

8

18

Hexaederstumpf

Abstumpfung der Ecken des Hexaeders durch Kantendreiteilung

24

14

36

Oktaederstumpf

Abstumpfung der Ecken des Oktaeders durch Kantendreiteilung

24

14

36

Ikosaederstumpf

(Fußballkörper)

Abstumpfung der Ecken des Ikosaeders durch Kantendreiteilung

60

32

90

Dodekaederstumpf

Abstumpfung der Ecken des Dodekaeders durch Kantendreiteilung

60

32

90

Kleines Rhombenkuboktaeder

Abstumpfung der Ecken und Kanten eines Hexaeders durch Kantendreiteilung

24

26

48

Großes Rhombenkuboktaeder

Abstumpfung der Ecken des Kuboktaeders durch Kantendreiteilung (stimmt nicht ganz!)

48

26

72

Kleines Rhombenikosidodekaeder

Abstumpfung der Ecken und Kanten eines Dodekaeders durch Kantendreiteilung

60

62

120

Großes Rhombenikosidodekaeder

Abstumpfung der Ecken   eines Ikosidodekaeders durch Kantendreiteilung

120

62

180

Abgeschrägtes

Hexaeder

Siehe Abb7

24

38

60

Abgeschrägtes Dodekaeder

Siehe Abb8

60

92

150

 

Einige Schülerarbeiten